Question

【题目】已知，在ABC 中， BAC 90， AB AC ，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与点 B 、C 重合）. 以 AD 为边作正方形 ADEF ，连接CF .

（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，求证： BD CF ；

（2）如图 2，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF 、 BC 、CD 三条线段之间的数量关系；

（3）如图 3，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时，且点 A 、 F 分别在直线 BC 的两侧，其他条件不变， 若正方形 ADEF 的边长为 2 ，对角线 AE 、 DF 相交于点O ，连接OC ，求OC 的长度.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）CF=BC+CD；（3）OC=.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形与正方形的性质，通过“边角边”证明△BAD≌△CAF，则BD=CF；

（2）同理（1）通过“边角边”证明△BAD≌△CAF，则BD=CF，可得CF=BC+CD；

（3）同上通过“边角边”证明△BAD≌△CAF，得到∠ACF=∠ABD=∠BAC+∠BCA，则∠DCF=90°，在Rt△DCF中OC是斜边上的中线，则OC=DF，然后根据正方形的边长求得其对角线的长即可得到答案.

解：（1）∵四边形ADEF是正方形，

∴∠DAF=90°，AD=AF，

∵BAC 90，

∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAF+∠CAD=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

又∵AB=C，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF；

（2）∵四边形ADEF是正方形，

∴∠DAF=90°，AD=AF，

∵BAC 90，

∴∠BAD=∠CAD+90°，∠CAF=∠CAD+90°，

∴∠BAD=∠CAF，

又∵AB=AC，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF=BC+CD；

（3）同理（1）易证△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ABD=∠ACF，

∵∠ABD=∠BAC+∠BCA，∠ACF=∠BCA+∠BCF，

∴∠BCF=∠BCA=90°，

则在Rt△DCF中，

∵DO=FO，

∴OC=DF，

∵正方形ADEF的边长为2，

∴DF=2，

则OC=.