Question

【题目】如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与周长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形EFGH是正方形，

∴EH∥BC，

∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，

∴△AEH∽△ABC

（2）解：如图，设AD与EH交于点M，

∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，

∴四边形EFDM是矩形，

∴EF=DM，

设正方形EFGH的边长为x，则DM=x，AM=30﹣x，

∵△AEH∽△ABC，

∴ = ，即 = ，

解得x= ，

∴正方形EFGH的边长为 cm，周长为 cm．

【解析】（1）根据四边形EFGH是正方形，得到EH∥BC，进而得出∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，即可判定△AEH∽△ABC；（2）设正方形EFGH的边长为x，则DM=x，AM=30﹣x，根据△AEH∽△ABC，得出 = ，即 = ，进而解得x= ，即可得出正方形的边长与周长．