Question

【题目】已知 (本题中的角均大于且小于)

(1)如图1，在内部作，若，求的度数；

(2)如图2，在内部作，在内，在内，且，，，求的度数；

(3)射线从的位置出发绕点顺时针以每秒的速度旋转，时间为秒(且)．射线平分，射线平分，射线平分．若，则 秒．

Answer 1

【答案】（1）40；（2）84；（3）7.5或15或45

【解析】

（1）利用角的和差进行计算便可；
（2）设，则，，通过角的和差列出方程解答便可；
（3）分情况讨论，确定∠MON在不同情况下的定值，再根据角的和差确定t的不同方程进行解答便可．

解：（1））∵∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOD+∠COD=∠AOB+∠COD
又∵∠AOD+∠BOC=160°且∠AOB=120°

∴

（2），

设，则，

则，

（3）当OI在直线OA的上方时，

有∠MON=∠MOI+∠NOI=（∠AOI+∠BOI））=∠AOB=×120°=60°，
∠PON=×60°=30°，
∵∠MOI=3∠POI，
∴3t=3（30-3t）或3t=3（3t-30），
解得t=或15；

当OI在直线AO的下方时，

∠MON═（360°-∠AOB）═×240°=120°，
∵∠MOI=3∠POI，
∴180°-3t=3（60°-）或180°-3t=3（-60°），
解得t=30或45，
综上所述，满足条件的t的值为s或15s或30s或45s．