Question

【题目】操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。研究：

（1）三角板ABC绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明。

（2）三角板ABC绕点P旋转，△PBE是否能为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由。（图④不用）

Answer 1

【答案】（1）PD=PE；（2）CE=0或1．

【解析】

试题分析：连接PC，根据题意得出CP=PB，∠ACP=∠B=45°，∠DPC=∠BPE，从而得出△PCD和△PBE全等，从得出答案；第二题分PE=PB，PB=BE和PE=BE三种情况分别进行讨论．

试题解析：（1）由图①可猜想PD=PE，再在图②中构造全等三角形来说明．即PD=PE．

理由如下：连接PC，因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP= ∠ACB=45°．

∴∠ACP=∠B=45°．又∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，∴∠DPC=∠BPE．

∴△PCD≌△PBE． ∴PD=PE．

（2）△PBE是等腰三角形，

①当PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0；

②当PB=BE时，1）E在线段BC上， ，2）E在CB的延长线上，

③当PE=BE时，CE=1．