Question

【题目】在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x轴、y轴上，O为坐标原点，且OA=8，OC=4，连接AC，将矩形OABC对折，使点A与点C重合，折痕ED与BC交于点D，交OA于点E，连接AD，如图①．
（1）求点D的坐标和AD所在直线的函数关系式；
（2）⊙M的圆心M始终在直线AC上（点A除外），且⊙M始终与x轴相切，如图②．
①求证：⊙M与直线AD相切；
②圆心M在直线AC上运动，在运动过程中，能否与y轴也相切？如果能相切，求出此时⊙M与x轴、y轴和直线AD都相切时的圆心M的坐标；如果不能相切，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设CE=t，

∵矩形OABC对折，使A与C重合（折痕为ED），OA=8，OC=4

∴CE=AE=t，∠AED=∠CED，

∴OE=OA﹣AE=8﹣t，

在Rt△OCE中，∵OE2+OC2=CE2，

∴42+（8﹣t）2=t2，

解得t=5，

即CE=AE=5

∵BC∥OA，

∴∠CDE=∠AED，

∴∠CDE=∠CED，

∴CD=CE=5．

∴D（5，4），

设直线AD的解析式 为y=kx+b，

将A（8，0）、D（5，4）代入解析式可得

解得

AD所在直线的函数关系式为

（2）解：①∵四边形OABC为矩形，

∴BC∥OA，

∴∠DCA=∠CAO，

又∵矩形OABC对折，使A与C重合（折痕为ED），

∴DE为AC的垂直平分线

∴CD=AD，

∴∠DCA=∠DAC，

∴∠DAC=∠CAO，

∴AC平分∠DAO，

∴AC上的点到直线AO和直线AD的距离相等，

∴M点到直线AO和直线AD的距离相等，

∵⊙M始终与x轴相切，

∴M点到直线AO的距离为半径r，

∴M点到直线AD的距离也为半径r，

∴直线AD与⊙M相切；

②⊙M在直线AC上运动，在运动过程中，能与y轴也相切．

如果⊙M与y轴相切，可知圆心M到y轴的距离为半径，

由①可知M（8﹣2r，r）所以只需使8﹣2r=r，

即当r为 时，⊙M与x轴、y轴和直线AD都相切，

∴M点的坐标为（ ， ）

【解析】（1）设CE=t，由于矩形OABC对折，OA=OC=4，从而可知OE=8﹣t，由勾股定理可解得：t的值，由易证CD=CE，从而可求出点D的坐标，利用待定系数法即可求出直线AD的解析式；（2）①由（1）可知：DE是AC的垂直平分线，从而可证明AC平分∠OAD，从而可证明⊙M与直线AD相切；②如果⊙M与y轴相切，可知圆心M到y轴的距离为半径，由①可知M（8﹣2r，r）所以只需使8﹣2r=r，从而可求出r的值．