Question

【题目】如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(m，n)（m＜0，

n＞0），E点在边BC上，F点在边OA上．将矩形OABC沿EF折叠，点B正好与点O重合，双曲线过点E.

(1) 若m＝－8，n ＝4，直接写出E、F的坐标；

(2) 若直线EF的解析式为，求k的值；

(3) 若双曲线过EF的中点，直接写出tan∠EFO的值.

Answer 1

【答案】（1）E(－3，4)、F(－5，0)；（2）；（3）.

【解析】

(1) 连接OE,BF,根据题意可知：设则根据勾股定理可得：即解得：即可求出点E的坐标，同理求出点F的坐标.

(2) 连接BF、OE，连接BO交EF于G由翻折可知：GO＝GB，BE＝OE，证明△BGE≌△OGF，证明四边形OEBF为菱形，令y＝0，则，解得 ， 根据菱形的性质得OF=OE=BE=BF=令y＝n，则，解得 则CE=，在Rt△COE中， 根据勾股定理列出方程，即可求出点E的坐标，即可求出k的值；

(3) 设EB=EO=x，则CE=－m－x，在Rt△COE中，根据勾股定理得到(－m－x)2＋n2＝x2，解得，求出点E()、F()，根据中点公式得到EF的中点为()，将E()、()代入中，得，得m2＝2n2

即可求出tan∠EFO＝.

解：(1)如图：连接OE,BF,

E(－3，4)、F(－5，0)

(2) 连接BF、OE，连接BO交EF于G由翻折可知：GO＝GB，BE＝OE

可证：△BGE≌△OGF（ASA）

∴BE＝OF

∴四边形OEBF为菱形

令y＝0，则，解得 ，∴OF=OE=BE=BF=

令y＝n，则，解得 ∴CE=

在Rt△COE中，，

解得

∴E()

∴

(3) 设EB=EO=x，则CE=－m－x，

在Rt△COE中，(－m－x)2＋n2＝x2，解得

∴E()、F()

∴EF的中点为()

将E()、()代入中，得

，得m2＝2n2

∴tan∠EFO＝