Question

【题目】如图，已知点A（0，4），B（2，0）．

（1）求直线AB的函数解析式；
（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x﹣m）2+n与线段OA交于点C．
①求线段AC的长；（用含m的式子表示）
②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设直线AB的函数解析式为：y=kx+b．

∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（2，0），

∴ ，解得： ，

即直线AB的函数解析式为y=﹣2x+4

（2）

解：①∵以M为顶点的抛物线为y=（x﹣m）2+n，

∴抛物线顶点M的坐标为（m，n）．

∵点M在线段AB上，∴n=﹣2m+4，

∴y=（x﹣m）2﹣2m+4．

把x=0代入y=（x﹣m）2﹣2m+4，

得y=m2﹣2m+4，即C点坐标为（0，m2﹣2m+4），

∴AC=OA﹣OC=4﹣（m2﹣2m+4）=﹣m2+2m；

②存在某一时刻，能够使得△ACM与△AMO相似．理由如下：

过点M作MD⊥y轴于点D，则D点坐标为（0，﹣2m+4），

∴AD=OA﹣OD=4﹣（﹣2m+4）=2m．

∵M不与点A、B重合，∴0＜m＜2，

又∵MD=m，∴AM= = m．

∵在△ACM与△AMO中，∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，

∴当△ACM与△AMO相似时，假设△ACM∽△AMO，

∴ ，即 ，

整理，得 9m2﹣8m=0，解得m= 或m=0（舍去），

∴存在一时刻使得△ACM与△AMO相似，且此时m= ．

【解析】（1）设直线AB的函数解析式为：y=kx+b，将A、B两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线AB的函数解析式；（2）①先由抛物线的顶点式为y=（x﹣m）2+n得出顶点M的坐标为（m，n），由点M是线段AB上一动点，得出n=﹣2m+4，则y=（x﹣m）2﹣2m+4，再求出抛物线y=（x﹣m）2+n与y轴交点C的坐标，然后根据AC=OA﹣OC即可求解；②过点M作MD⊥y轴于点D，则D点坐标为（0，﹣2m+4），AD=OA﹣OD=2m，由勾股定理求出AM= m．在△ACM与△AMO中，由于∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，所以当△ACM与△AMO相似时，只能是△ACM∽△AMO，根据相似三角形对应边成比例得出 ，即 ，解方程求出m的值即可．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．