Question

【题目】（题文）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，△ABD、△BCE均为等边三角形，DE、AB交于点F，AF=3，则△ACE的面积为_____．

Answer 1

【答案】6

【解析】

如图所示，过D作DG⊥AB于G，EK⊥AC交AC的延长线于K，根据等边三角形的性质、勾股定理、30°角直角三角形的性质可得DG=AG，BC=AC，再证明△ADF≌△GEF，根据全等三角形的性质可得DF=EF，GF=BF，所以FG=，AG=2，即可得AB=4，AC=2，EC=BC=AC=6，在Rt△CEK中，EK=EC=3，根据三角形的面积公式求得S△ACE=ACEK=6．

如图所示，过D作DG⊥AB于G，EK⊥AC交AC的延长线于K．

∵△ABD是等边三角形，DG⊥AB，

∴AG=BG=AB，由勾股定理得：DG=AG，

∵∠BAC=30°，

∴AC=AB，

∴AG=AC=AB，

∵由勾股定理得：BC=AC，

∴DG=BC=BE，

∵∠EBA=60°+30°=90°，

∴EB⊥AB．

∴DG∥EB．

∴∠BEF=∠GDF，∠DGB=∠EBF=90°，

在△DGF与△EBF中，

∵，

∴△ADF≌△GEF（AAS），

∴DF=EF，GF=BF，

∵AG=BG，AF=3，

∴FG=，AG=2，

∴AB=4，AC=2，EC=BC=AC=6，

在Rt△CEK中，EK=EC=3，

∴S△ACE=ACEK=23=6．

故答案为6．