Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．请证明AB=AC+CD；

（2）①如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；

②如图③，当∠C≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①AB=AC+CD；②AC+AB=CD，证明见解析．

【解析】

（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，进而得出答案；

（2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，进而得出答案；

②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，进而得出答案．

解：（1）∵AD为∠ABC的角平分线，

∴∠EAD=∠CAD，

在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，

∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，

∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，

∴BE=ED=CD，

∴AB=AE+BE=AC+CD；

（2）①AB=AC+CD．

理由：在AB上截取AE=AC，连接DE，

∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，

在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴ED=CD，∠C=∠AED，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

∵∠B+∠BDE=∠AED，

∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，

∴AB=AE+BE=AC+CD；

②AC+AB=CD．

理由：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，

∵AD为∠EAC的角平分线，

∴∠EAD=∠CAD，

在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴ED=CD，∠ACD=∠AED，

∵∠ACB=2∠B，

∴设∠B=x，则∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，

∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，

∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，

∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．