Question

【题目】如图，点是等边三角形内一点,将绕点 .按顺时针方向旋转得, 连接.

（1）求证:是等边三角形;

（2）当时， 试判断的形状，并说明理由;

（3）探究:当为多少度时，是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形，理由见解析；（3）当的度数为或或时，是等腰三角形.

【解析】

(1)根据旋转的性质得到,再根据旋转角的度数得到∠OCD的度数,根据等边三角形的判定方法,即可证明.

(2)根据旋转前后对应的两个三角形全等可得△BOC≌△ADC,利用全等三角形的性质得到∠ADC=∠BOC=，再利用△COD是等边三角形得∠ODC=60°，于是可计算出∠ADO的度数，再结合周角为360°，求出∠AOD的度数,探究是否存在等腰直角三角形的情况，进而判断△AOD的形状;

(3)需要分三种情况讨论，即①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO;②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO;③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD;如对于①，∠AOD=190°-，∠ADO=-60°，再结合∠AOD=∠ADO建立的方程，求出的度数，同理可以计算其他两种情况.

(1)证明:由旋转的性质得:,

是等边三角形;

(2)当，即°时，

是直角三角形.理由如下:

由旋转的性质得:

又是等边三角形，

即是直角三角形;

(3)分三种情况:

①时，

;

②时，

;

③时，

.

综上所述:当的度数为或或时，是等腰三角形.