Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．

（1）求证：DB=DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，
∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE
（2）证明：连接CD．

∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴ = ，
∴BD=CD，
∵BD=DF，
∴CD=DB=DF，
∴∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线
【解析】（1）三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。根据三角形的内心的定义可得∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，结合已知条件可证得∠DBE=∠DEB，由等角对等边可得DB=DE。
（2）连接CD，要证CF是⊙O的切线，只须证∠BCF=90°，根据已知条件DA平分∠BAC可证BD=CD，结合已知BD=DF可得CD=DB=DF，则∠BCF=90°，结论可得。