Question

【题目】已知A（2,0），B（6,0），CB⊥x轴于点B，连接AC

画图操作：

（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB=∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）

理解应用：

（2）在（1）的条件下，

①若tan∠APB ，求点P的坐标

②当点P的坐标为 时，∠APB最大

拓展延伸：

（3）若在直线yx+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标

Answer 1

【答案】（1）图形见解析（2）（0，2），（0，4）（0，2）（3）（，）

【解析】试题分析：（1）以AC为直径画圆交y轴于P，连接PA、PB，∠PAB即为所求；

（2）①由题意AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）；

②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，∠APB最大．想办法求出点P坐标即可解决问题；

试题解析：解：（1）∠APB如图所示；

（2）①如图2中，∵∠APB=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠APB==．∵A（2，0），B（6，0），∴AB=4，BC=8，∴C（6，8），∴AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）．

②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，此时AK=PK=4，AC=8，∴BC==4，∴C（6，4），∴K（4，2），∴P（0，2）．故答案为：（0，2）．

（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，∠APB最大．∵直线y=x+4交x轴于M（﹣3，0），交y轴于N（0，4）．∵MP是切线，∴MP2=MAMB，∴MP=3，作PK⊥OA于K．∵ON∥PK，∴==，∴==，∴PK=，MK=，∴OK=﹣3，∴P（﹣3，）．