Question

【题目】如图，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上移动，过点O、A、C作矩形OABC，OA=a,OC=b，移在动过程中，双曲线y= (x>0)的图象始终经过BC的中点E，交AB于点D.

(1)证明：点D是AB的中点；

(2) 连结OE记∠AOE= α.

①当α=45°时，求 a、b之间的数量关系；

②当α=30°，k= 时，将四边形OABE沿OE翻折，得四边形OMNE,记双曲线与四边

形OMNE除点E外的另一个交点为F，求直线DF的解析式

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）① a=2b ②

【解析】分析：（1）根据中点坐标公式得到E点坐标，再根据待定系数法得到双曲线解析式，把D点的横坐标代入可求D点的纵坐标，依此即可证明；
（2）①根据等腰直角三角形的性质即可得到a、b之间的数量关系；

②首先过点E作EH⊥OA于点H，过点F作FG⊥OA于点G，由∠EOA=30°，k=，即可求得点E的坐标，又由点E是BC的中点，可求得点D的横坐标，继而求得点D的坐标，然后由折叠的性质，可得∠FOA=60°，即可求得点F的坐标，然后由待定系数法求得直线DF的解析式．

详解： ，

，

，得：，

，

，.

.

=，

，

，

，.

(3)如图，过点E作EH⊥OA于点H，过点F作FG⊥OA于点G，

∵∠AOE=30°,k=，

∴=，

∴OH=EH，

∵S△EOH=OHEH=k=，

∴EH=1,OH=，

∵E是BC的中点，

∴OA=2OH=2，

∴点D的横坐标为2，

则y=，

∴点D(2,)，

由折叠的性质可得：∠FOA=2∠AOE=60°，

∴FG:OG=，

∵S△FOG=OGFG=k═，

∴OG=1,FG=，

∴点F(1,)，

设直线EF的解析式为：y=ax+b，

则，

解得：，

∴直线EF的解析式为：y=x++.