Question

【题目】在数学活动课上，王老师出示一道数学题目：“在平面直角坐标系中，当为何值时，抛物线与直线段有唯一公共点或有两个公共点？”某学习小组经探究得到以下四个结论：

①当时，有唯一公共点；

②若为整数，则仅当的值为4或5或6或7时，才有唯一公共点；

③若为整数，则当的值为1或2或3时，有两个公共点；

④当时，有两个公共点．其中正确的结论有（ ）

A.①②④B.①②③C.①③D.①④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据抛物线表达式得出其对称轴，分别求出抛物线和直线段有不同交点数时对应的c的值，从而判断各个选项.

解：由抛物线表达式得：，对称轴为直线x=2，

如图，当时，，联立，

得：，变形得：，

解得：x1=x2=，

∴此时抛物线和直线段只有一个交点，故①正确；

如图，当抛物线经过直线段与y轴交点时，

将x=0代入y=x+3，得y=3，

此时抛物线过（0，3），

即c=3，

如图，当抛物线经过直线段右侧端点时，

将x=4代入y=x+3，得y=7，

此时抛物线过（4，7），代入，

得：c=7，

综上：当c＜时，抛物线与直线段无公共点，

当c=时，抛物线与直线段有一个公共点，

当＜c≤3时，抛物线与直线段有两个公共点，

当3＜c≤7时，抛物线与直线段有一个公共点，

当c＞7时，抛物线与直线段无公共点，

据此可得：

若为整数，则仅当的值为4或5或6或7时，才有唯一公共点，正确；

若为整数，则当的值为1或2或3时，有两个公共点，正确；

当时，有两个公共点，错误.

即①②③正确，

故选B.