Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，经过点A作AE⊥OC，垂足为点D，AE与BC交于点F，与过点B的直线交于点E，且EB=EF．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若CD=1，cos∠AEB= ，求BE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵B、C在⊙O上，

∴OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵EF=EB，

∴∠EBC=∠EFB，

又∵∠AFC=∠EFB，

∴∠AFC=∠EBC，

∵AE⊥OC，

∴∠AFC+∠OCB=90°，

∴∠EBC+∠OBC=90°，即BE⊥OB，

又OB是⊙O的半径，

∴EB是⊙O的切线

（2）解：设⊙O的半径为r，则OA=OC=r，

又CD=1，

∴OD=r﹣1，

∵∠AOD+∠EAB=90°，∠AEB+∠EAB=90°，

∴∠AOD=∠AEB，

∴cos∠AOD=cos∠AEB= ，

∴在Rt△AOD中，cos∠AOD= = ，即 = ，

解得：r= ，

∵AB是⊙O的直径，

∴AB=5，

在Rt△AEB中，cos∠AEB= = ，

∴AE= BE，

又AE2=AB2+BE2，即（ BE）2=BE2+52，

解得：BE=

【解析】（1）由∠OBC=∠OCB、∠EBC=∠EFB=∠AFC，根据∠AFC+∠OCB=90°可得∠EBC+∠OBC=90°，即可得证；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△AOD中根据cos∠AOD=cos∠AEB= 可得r= ，由cos∠AEB= = 知AE= BE，Rt△ABE中，根据勾股定理有（ BE）2=BE2+52 ， 解之可得．
【考点精析】掌握垂径定理和三角形的外接圆与外心是解答本题的根本，需要知道垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心．