Question

【题目】以四边形ABCD的边AB，AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和等边三角形ADE，连接EB，FD，交点为G．

（1）当四边形ABCD为正方形时，如图①，EB和FD的数量关系是　 　；

（2）当四边形ABCD为矩形时，如图②，EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；

（3）如图③，四边形ABCD由正方形到矩形再到一般平行四边形的变化过程中，EB和FD具有怎样的数量关系？请直接写出结论，无需证明．

Answer 1

【答案】（1）DF＝BE；（2）EB＝FD，证明见解析；（3）DF＝BE

【解析】

（1）根据题意可得AB=AF，AD=AE，∠FAB=∠EAD，即可得∠FAD=∠EAB，则可证△AFD≌△AEB，可得BE=DF

（2）根据题意可得AB=AF，AD=AE，∠FAB=∠EAD，即可得∠FAD=∠EAB，则可证△AFD≌△AEB，可得BE=DF

（3）根据题意可得AB=AF，AD=AE，∠FAB=∠EAD，即可得∠FAD=∠EAB，则可证△AFD≌△AEB，可得BE=DF．

解：（1）∵四边形ABCD是正方形

∴AB＝AD，∠BAD＝90°

∵△BAF和△AED是等边三角形

∴AF＝AB，AD＝AE，∠FAB＝∠EAD＝60°

∴AE＝AD＝AF＝AB，∠FAD＝∠EAB

∴△ABE≌△ADF

∴DF＝BE

故答案为DF＝BE

（2）EB＝FD

理由如下：

∵△BAF和△AED是等边三角形

∴AF＝AB，AD＝AE，∠FAB＝∠EAD＝60°

∴∠FAB+∠BAD＝∠EAD+∠BAD

∴∠FAD＝∠EAB

又∵AF＝AB，AE＝AD

∴△ABE≌△AFD

∴DF＝BE

（3）BE＝DF

理由如下∵△BAF和△AED是等边三角形

∴AF＝AB，AD＝AE，∠FAB＝∠EAD＝60°

∴∠FAB+∠BAD＝∠EAD+∠BAD

∴∠FAD＝∠EAB

又∵AF＝AB，AE＝AD

∴△ABE≌△AFD

∴DF＝BE