Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE= ；④AF=2 ，其中正确结论的个数有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：在矩形ABCD中，∵∠BAD=90°， ∵AE⊥BD，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∵∠CAD=∠ADB，
∴∠BAE=∠CAD，故①正确；
∵BC=4，CD=2，
∴tan∠DBC= = ，
∴∠DBC≠30°，故②错误；
∵BD= =2 ，
∵AB=CD=2，AD=BC=4，
∵△ABE∽△DBA，
∴ ，
即 ，
∴AE= ；故③正确；
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=45°，
∴∠ACF=45°﹣∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BAE=∠ACB，
∴∠EAC=90°﹣2∠ACB，
∴∠EAC=2∠ACF，
∵∠EAC=∠ACF+∠F，
∴∠ACF=∠F，
∴AF=AC，
∵AC=BD=2 ，
∴AF=2 ，故④正确；
故选C．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．