Question

【题目】在△ABC中，P为边AB上一点．

（1）如图1，若∠ACP=∠B，求证：AC2=APAB；
（2）若M为CP的中点，AC=2．
①如图2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的长；
②如图3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，直接写出BP的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，

∴△ACP∽△ABC，

∴ ，

∴AC2=APAB

（2）

解：①取AP在中点G，连接MG，

设AG=x，则PG=x，BG=3﹣x，

∵M是PC的中点，

∴MG∥AC，

∴∠BGM=∠A，

∵∠ACP=∠PBM，

∴△APC∽△GMB，

∴ ，

即 ，

∴x= ，

∵AB=3，

∴AP=3﹣ ，

∴PB= ；

②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE=BP，

设BP=x．

∵∠ABC=45°，∠A=60°，

∴CH= ，HE= +x，

∵CE2= +（ +x）2，

∵PB=BE，PM=CM，

∴BM∥CE，

∴∠PMB=∠PCE=60°=∠A，

∵∠E=∠E，

∴△ECP∽△EAC，

∴ ，

∴CE2=EPEA，

∴3+3+x2+2 x=2x（x+ +1），

∴x= ﹣1，

∴PB= ﹣1．

【解析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）①取AP在中点G，连接MG，设AG=x，则PG=x，BG=3﹣x，根据三角形的中位线的性质得到MG∥AC，由平行线的性质得到∠BGM=∠A，∵∠根据相似三角形的性质得到 ，求得x= ，即可得到结论；②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE=BP解直角三角形得到CH= ，HE= +x，根据勾股定理得到CE2= +9 +x）2根据相似三角形的性质得到CE2=EPEA列方程即可得到结论．