Question

【题目】已知：如图，直线AB与x轴y轴分别交于A，B两点，与双曲线y= 在第一象限内交于点C，BO=2AO=4，△AOC的面积为2 +2．
（1）求点C的坐标和k的值；
（2）若点P在双曲线y= 上，点Q在y轴上，且以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求所有符合题意的点Q的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BO=2AO=4，

∴A（﹣2，0），B（0，4），

设直线AB的解析式为y=mx+n，

把A（﹣2，0），B（0，4）分别代入得 ，解得 ，

∴直线AB的解析式为y=2x+4，

设C（t，2t+4）

∵△AOC的面积为2 +2．

∴ 2（2t+4）=2 +2，解得t= ﹣1，

∴C（ ﹣1，2 +2），

把C（ ﹣1，2 +2）代入y= 得k=（ ﹣1）（2 +2）=12

（2）解：当平行四边形为AQPB时，把A点向右平移2个单位得到Q1点，则B点向右平移2个单位得到P1点，所以P1（2，6），即B点向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到P1点，所以A点向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点Q1（0，2）；

当平行四边形为APQB时，则P2（﹣2，﹣6），即点A向下平移6个单位得到点P2，则B点向下平移6个单位得到点Q2（0，﹣2）；

当平行四边形为APBQ时，则P2（﹣2，﹣6），即点A向下平移6个单位得到点P2，则B点向上平移6个单位得到点Q3（0，10）；

综上所述，满足条件的Q点坐标为（0，2）、（0，﹣2）、（0，10）．

【解析】（1）先由BO=2AO=4得到A（﹣2，0），B（0，4），再利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=2x+4，设C（t，2t+4），利用三角形面积公式得到 2（2t+4）=2 +2，然后解方程求出t即可得到C点坐标，再利用反比例函数图像上点的坐标特征求k的值；（2）分类讨论：分AB为平行四边形的边和对角线讨论，根据平行四边形的性质，利用点平移的坐标规律求出对应的P点和Q点坐标．
【考点精析】掌握平行四边形的性质是解答本题的根本，需要知道平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．