Question

【题目】如图①，长方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，E为CD的中点．点P从A点出发，沿A﹣B﹣C的方向在长方形边上匀速运动，速度为1cm/s，运动到C点停止．设点P运动的时间为ts．（图②为备用图）

(1)当P在AB上，t=　 　s时，△APE的面积为长方形面积的；

(2)整个运动过程中，t为何值时，△APE为直角三角形？

Answer 1

【答案】(1)4；(2)当t=3s或t=s时，△APE为直角三角形．

【解析】

（1）设t秒后，△APE的面积为长方形面积的，根据题意得：△APE的面积=APAD=t×4=，从而求得t值；

（2）①当P运动到AB中点时△AEP为直角三角形，此时∠APE为直角，t=3；②当P运动到BC上时，∠AEP为直角时利用相似三角形求得PB的长即可求得t值．

（1）设t秒后，△APE的面积为长方形面积的，根据题意得：AP=t，∴△APE的面积=APAD=t×4=，解得：t=4，∴4秒后，△APE的面积为长方形面积的；

（2）①当t=3时，AP=3，如图1所示：

∵E为CD的中点，∴CE=DE=3．

∵四边形ABCD是矩形，BC=AD=4，∴四边形APED是矩形，∴PE⊥AB，∴△APE是直角三角形；

②当P在BC上时，若△APE是直角三角形，∠AED+∠PEC=90°，如图2所示：

∵∠ADE=∠ECP=90°，∴∠AED=∠EPC，∴△ADE∽△ECP，∴=，解得：CP===，∴PB=BC﹣PC=4﹣=，∴t=6+=．

综上所述：当t=3s或t=s时，△APE为直角三角形．