Question

【题目】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．

（1）求证：=；

（2）求证：AF⊥FM；

（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）∠BAM=22.5时，∠FMN=∠BAM，理由详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据已知易证∠MAF=∠MBE，即可得A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补可求得∠AFM=90°，根据等腰直角三角形性质即求得=；（2）由（1）的结论∠AFM=90°，即可得AF⊥FM；．（3）由A、B、M、F四点共圆，可证得∠BAM=∠EFM，因为∠BAM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到=，推出BM=DN，再证明△ABM≌△ADN即可解决问题．

试题解析：

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，

∵∠MAN=45°，

∴∠MAF=∠MBE，

∴A、B、M、F四点共圆，

∴∠ABM+∠AFM=180°，

∴∠AFM=90°，

∴∠FAM=∠FMA=45°，

∴AM=AF，

∴=．

（2）由（1）可知∠AFM=90°，

∴AF⊥FM．

（3）结论：∠BAM=22.5时，∠FMN=∠BAM

理由：∵A、B、M、F四点共圆，

∴∠BAM=∠EFM，

∵∠BAM=∠FMN，

∴∠EFM=∠FMN，

∴MN∥BD，

∴=，∵CB=DC，

∴CM=CN，

∴MB=DN，

在△ABM和△ADN中，

，

∴△ABM≌△ADN，

∴∠BAM=∠DAN，

∵∠MAN=45°，

∴∠BAM+∠DAN=45°，

∴∠BAM=22.5°．