Question

【题目】如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．

（1）求证：CT为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2， ，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OT，

∵OA=OT，
∴∠OAT=∠OTA，
又∵AT平分∠BAD，
∴∠DAT=∠OAT，
∴∠DAT=∠OTA，
∴OT∥AC，
又∵CT⊥AC，
∴CT⊥OT，
∴CT为⊙O的切线
（2）解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，
又∵CT⊥AC，
∴OE∥CT，
∴四边形OTCE为矩形
∵CT= ，
∴OE= ，
又∵OA=2，
∴在Rt△OAE中， =1，
∴AD=2AE=2
【解析】（1）要证相切，可证CT⊥OT，由CT⊥AC，需证OT∥AC，即证出∠DAT=∠OTA，进而得出CT为⊙O的切线；（2）求弦长需作垂线，构造出弦心距，利用勾股定理求出弦的一半，进而求出整个弦长.