Question

【题目】如图，中，分别以为边在的同侧作正方形，则图中阴影部分的面积之和为_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

过D作BF的垂线交BF于N，连接DI，通过证明S1+S2+S3+S4=Rt△ABC的面积×3，依此即可求解．

解：过D作BF的垂线交BF于N，连接DI，

∵四边形、四边形和四边形为正方形，

∴GA=AC=GF,∠G=∠ABD=90°，AE=AB=BD，BC=CI，∠H=∠ICB=90°，

∵DN⊥BF，

∴∠DNB=90°，∠NDB+∠NBD=90°，

又∵∠ABD=∠NBA+∠NBD=90°，

∴∠NBA=∠NDB，

在△ACB和△BND中

∵

∴△ACB≌△BND（AAS），

∴BC=DN=IC，BN=AC，

又∵∠DNB=∠ICB=90°，

∴DN∥CI，

∴四边形DNCI是平行四边形，且平行四边形DNCI是矩形，

∴∠DIC=90°，
∴D、I、H三点共线，

∵∠ACB=90°，

∴∠G=∠ACB=90°，

在和中

∵

∴≌（HL）

∴GE=BC，

同理可证≌,

∵∠BDE=∠ICB=90°，

∴∠DBM+∠DMB=90°，∠DBM+∠AOB=90°，

∴∠DMB=∠AOB，

∴∠EMF=∠DOI，

在△MND和△BCO中，

∵

∴△MND≌△BCO，

∵DI=BN-BC,EF=GF-GE,

∴EF=DI，

在△EFM和△DIO中

∵

∴△EFM≌△DIO，

∵

∴,

∴Rt△ABC的面积=，

∴S1+S2+S3+S4
=S1+S3+（S2+S4），
=Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积
=Rt△ABC的面积×3=，

故答案为：．