Question

【题目】直线y= x与双曲线y= 的交点A的横坐标为2
（1）求k的值
（2）如图，过点P（m，3）（m＞0）作x轴的垂线交双曲线y= （x＞0）于点M，交直线OA于点N
①连接OM，当OA=OM时，直接写出PN﹣PM的值
②试比较PM与PN的大小，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点A在直线y= x上，且A点的横坐标为2，

∴y= ×2=3，

∴A（2，3），把A（2，3）代入y= ，可得k=6，

∴k=6．

（2）解：①当M与A重合时，PN﹣PM=0，

当M（3，2）时，P（3，3），N（3， ），

∴PN﹣PM=（ ﹣3）﹣（3﹣2）= ，

综上所述PN﹣PM=0或 ．

②∵PM⊥x轴，P（m，3），

∴N（3， m），M（m， ）．

∴PN=| m﹣3|，PM=| ﹣3|，

当P、M、N三点重合时，PM=PM=0．

当0＜m＜2时，PM= ﹣3，PN=3﹣ m，

PM﹣PN= ﹣3﹣（3﹣ m）= ﹣6+ m=6（ ﹣ ）2＞0，

∴PM＞PN．

当m＞2时，PM=3﹣ ，PN= m﹣3，

PM﹣PN=3﹣ ﹣（ m﹣3）=﹣ +6﹣ m=﹣6（ ﹣ ）2＜0，

∴PM＜PN，

综上所述，当m=2时，PM=PN，当0＜m＜2时，PM＞PN，当m＞2时，PM＜PN．

【解析】（1）先求出点A坐标，利用待定系数法即可解决问题．（2）①分两种情形讨论求解．②分三种情形讨论求解a、m=2．b、0＜m＜2，C、m＞2．分别利用求差法比较大小即可．