Question

【题目】综合与实践

问题解决：

如图1，已知正方形，，把含（）的直角三角板的一个锐角顶点和点重合，三角板和正方形的，两边分别相交于，两点．

（1）当时，求的长；

探究发现：

（2）在图1的基础上，试探究，，有怎样的数量关系，请写出猜想，并给予证明．

类比延伸：

（3）如图2，若三角板和正方形，两边的延长线分别相交于，两点，请直接写出，，存在的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）．

【解析】

（1）直接利用勾股定理，即可求出AM的长度；

（2）延长到点，使得，连接．先证明，得到，然后得到，再证明，即可得到结论成立.

（3）在CN上截取CE=AM，连接ME，先证明△BCE≌△ABM，然后得到△MBE为等腰直角三角形，再根据垂直平分线的性质，线段的和差关系，即可得到结论.

解：（1）∵四边形为正方形，

∴，．

∵，，

∴．

（2）猜想：．

证明：延长到点，使得，连接．

在和中，

，

∴，

∴，，

∴，

即．

在和中，

，

∴，

∴，

∴．

（3）在CN上截取CE=AM，连接ME，

∵BC=AB，∠BAM=∠C=90°，

∴△BCE≌△BAM，

∴BE=BM，∠ABM=∠CBE，

∵∠MBN=45°，∠ABC=90°，

∴∠MBE=90°，△MBE为等腰直角三角形，

∴BN垂直ME，

∴BN为ME垂直平分线，

∴NM=NE．

∴CN-AM=CN-CE=NE=MN，

∴．