Question

【题目】已知：，是圆的两条直径，连接，．

如图①，求证：，；

如图②，过点作于点，交圆于点，在上取一点，使，

求证：四边形是平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【解析】

（1）由同弧所对的圆周角相等得出∠P=∠A，由OA=OQ得出∠A=∠Q，那么∠P=∠Q，AQ∥PB．根据∠AOQ=∠BOP，得到，那么AQ=BP；
（2）先由垂径定理得出BD=CD，又PD=DK，得出四边形BKCP为菱形，根据菱形的性质得出PB∥CK，再证明CK∥AQ，且CK=AQ，那么四边形AQKC为平行四边形．

证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴；

∵，

∴，

又∵，

∴与互相垂直且平分，

∴四边形为菱形；

∴，且，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，且，

∴四边形为平行四边形．