Question

【题目】已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．

（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），

∴根据题意，得 ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）解：由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），

∴CD= = ，

BC= =3 ，

BD= =2 ，

∵CD2+BC2=（ ）2+（3 ）2=20，BD2=（2 ）2=20，

∴CD2+BC2=BD2，

∴△BCD是直角三角形；

（3）解：存在．

y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1．

①若以CD为底边，则P1D=P1C，

设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2=x2+（3﹣y）2，P1D2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，

因此x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，

即y=4﹣x．

又P1点（x，y）在抛物线上，

∴4﹣x=﹣x2+2x+3，

即x2﹣3x+1=0，

解得x1= ，x2= ＜1，应舍去，

∴x= ，

∴y=4﹣x= ，

即点P1坐标为（ ， ）．

②若以CD为一腰，

∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x=1对称，

此时点P2坐标为（2，3）．

∴符合条件的点P坐标为（ ， ）或（2，3）．

【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y=ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．