Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．
（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；
（2）当DE=8时，求线段EF的长；
（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接BC，

∵A（10，0），∴OA=10，CA=5，

∵∠AOB=30°，

∴∠ACB=2∠AOB=60°，

∴弧AB的长=

（2）解：①若D在第一象限，

连接OD，

∵OA是⊙C直径，

∴∠OBA=90°，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分线，

∴OD=OA=10，

在Rt△ODE中，

OE= = ，

∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4，

由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA，

∴ ，即 ，

∴EF=3；

②若D在第二象限，

连接OD，

∵OA是⊙C直径，

∴∠OBA=90°，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分线，

∴OD=OA=10，

在Rt△ODE中，

OE= = ，

∴AE=AO+OE=10+6=16，

由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA，

∴ ，即 = ，

∴EF=12；

∴EF=3或12；

（3）解：设OE=x，

①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角

形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，

当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC

中点，即OE= ，

∴E1（ ，0）；

当∠ECF=∠OAB时，有CE=5﹣x，AE=10﹣x，

∴CF∥AB，有CF= ，

∵△ECF∽△EAD，

∴ ，即 ，解得： ，

∴E2（ ，0）；

②当交点E在点C的右侧时，

∵∠ECF＞∠BOA，

∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，

连接BE，

∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，

∴BE=AB=BD，

∴∠BEA=∠BAO，

∴∠BEA=∠ECF，

∴CF∥BE，

∴ ，

∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，

∴△CEF∽△AED，

∴ ，

而AD=2BE，

∴ ，

即 ，解得 ＜0（舍去），

∴E3（ ，0）；

③当交点E在点O的左侧时，

∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF．

∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO

连接BE，得BE= =AB，∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA，

∴CF∥BE，

∴ ，

又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，

∴△CEF∽△AED，

∴ ，

而AD=2BE，

∴ ，

∴ ，

解得x1= ，x2= （舍去），

∵点E在x轴负半轴上，

∴E4（ ，0），

综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，

此时点E坐标为：E1（ ，0）、E2（ ，0）、E3（ ，0）、E4（ ，0）．

【解析】（1）连接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC= AO=5，根据弧长公式求解；（2）连接OD，由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依题意证明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；（3）存在．当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时，分为①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②当交点E在点C的右侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③当交点E在点O的左侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三种情况，分别求E点坐标．