Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE，△ADE沿DE折叠后得到△FDE，点F在矩形ABCD的内部，延长DF交于BC于点G．
（1）求证：FG=BG；
（2）若AB=6，BC=4，求DG的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接EG，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°，

∵△ADE沿DE折叠后得到△FDE，

∴AE=EF，∠DFE=∠A=90°，

∴∠GFE=∠B，

∵E是边AB的中点，

∴AE=BE，

∴EF=EB，

在Rt△EFG与Rt△EBG中， ，

∴Rt△EFG≌Rt△EBG；

∴FG=BG

（2）解：∵AB=6，BC=4，△ADE沿DE折叠后得到△FDE，

∴DF=DA=4，EF=AE=3，∠AED=∠FED，

∵Rt△EFG≌Rt△EBG，

∴∠FEG=∠BEG，

∴∠DEF+∠FEG=90°，

∵EF⊥DG，

∴EF2=DFFG，

∴FG= ，

∴DG=FG+DF= ．

【解析】（1）连接EG，根据矩形的性质得到∠A=∠B=90°，根据折叠的性质得到AE=EF，∠DFE=∠A=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据折叠的性质得到DF=DA=4，EF=AE=3，∠AED=∠FED，根据全等三角形的性质得到∠FEG=∠BEG，得到∠DEF+∠FEG=90°，根据射影定理即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解矩形的性质的相关知识，掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等，以及对翻折变换（折叠问题）的理解，了解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．