Question

【题目】已知∠AOB=45°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，连接P1P2交OA、OB于E、F，若P1E=，OP=，则EF的长度是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称，推出OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，推出∠P1OP2=90°，由此即可判断△P1OP2是等腰直角三角形，由轴对称可得，∠OPE=∠OP1E=45°，∠OPF=∠OP2F=45°，进而得出∠EPF=90°，最后依据勾股定理列方程，即可得到EF的长度．

∵P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称，

∴OP=OP1=OP2=，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，

∵∠AOB=45°，

∴∠P1OP2=2∠AOP+2∠BOP=2（∠AOP+∠BOP）=90°，

∴△P1OP2是等腰直角三角形，

∴P1P2==2，

设EF=x，

∵P1E==PE，

∴PF=P2F=-x，

由轴对称可得，∠OPE=∠OP1E=45°，∠OPF=∠OP2F=45°，

∴∠EPF=90°，

∴PE2+PF2=EF2，即（）2+（-x）2=x2，

解得x=．

故答案为：．