Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=4，Q为AB边的中点，P为CD边上的动点，且△AQP是腰长为5的等腰三角形，则CP的长为_______．

Answer 1

【答案】2、7或8．

【解析】

首先计算出QB的长，再分三种情况：①如图1，PQ=AQ=5时；②如图2，AP=AQ=5时；③如图3，PQ=AQ=5且△PBQ为钝角三角形时分别计算出CP的长即可．

解：∵AB=10，点Q是BA的中点，

∴AQ=BQ=BA=×10=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=10，∠B=∠C=∠D=90°，

①如图1，PQ=AQ=5时，过点P作PE⊥BA于E，
根据勾股定理，QE=，
∴BE=BQ+QE=5+3=8，
∴CP=BE=8；

②如图2，AP=AQ=5时，

根据勾股定理，DP=，
∴CP=10-3=7；

③如图3，PQ=AQ=5且△PBQ为钝角三角形时，过点P作PE⊥BA于E，
根据勾股定理：QE=，
∵BE=QB-EQ=5-3=2，
∴CP=BE=2，
综上所述，CP的长为2或7或8．
故答案为：2、7或8．