Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB=AC，以△ABC的边AB为直径的⊙O角边BC于点E，过点E作DE⊥AC交AC于D．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2﹣，求⊙O的半径和EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）半径为2，EF=．

【解析】分析：(1)连接OE，AE，利用圆周角定理的“三线合一”证明；(2)过点O作OM⊥AC，设OM＝x，用含x的式子表示出AM，DM，AC的长，由AC－AM－MD＝2﹣，列方程求x，得到圆的关系，再在Rt△OEF中求EF.

详解：(1)如图1，连接OE，AE，

∵AB是⊙O的直径，∴∠EBA＝90°，

∴AE⊥BC，AB＝AC，∴BE＝CE，

∵AO＝OB，∴OE∥AC，

∵DE⊥AC，∴DE⊥OE，

∴DE是⊙O的切线；

(2)如图2，过点O作OM⊥AC，

∵∠C＝75°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝75°，∴∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°，

设OM＝x，则OA＝OB＝OE＝2x，AM＝x，OD⊥DE，DE⊥AC，

∴四边形OEDM是矩形，∴DM＝OE＝2x，

OE＝AC，可得：4x＝x＋2x＋2﹣，x＝1，

∴OE＝OB＝2，即半径为2，

在直角△OEF中，∠EOF＝∠A＝30°，

∴＝tan30°＝，

EF＝．