Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC=4，cos∠ACH=．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在x轴上是否存在点P，使三角形PAC是等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）反比例函数的解析式为：y2=﹣，一次函数解析式为y1=﹣2x+4；（2）P点坐标为（﹣8，0）．

【解析】分析：(1)解直角△ACH求得CH与AH，即可得点A的坐标；由点A，C的坐标，用待定系数法求直线AB的解析式；(2)因为点A，C确定，点P在x轴上，所以设P(m，0)，分三种情况求解，①顶点是点A时，②顶点是点C时，③顶点是点P时.

详解：(1)∵AC＝，cos∠ACH＝，∴，

解得CH＝4，

由勾股定理得，AH＝＝8，

∵点O是线段CH的中点，

∴点A的坐标为(﹣2，8)，点C的坐标为(2，0)，

∴反比例函数的解析式为：y2＝﹣，

由点A，C的坐标列方程组，

解得，，

∴一次函数解析式为y1＝﹣2x＋4；

(2)设P点坐标为(m，0)，

①当点A为等腰三角形的顶点时，PH＝CH＝4，则OP＝6，

∴P点坐标为(﹣6，0)；

②当点C为等腰三角形的顶点时，PC＝CA＝，

则OP＝＋2或﹣2，

∴P点坐标为(2﹣，0)或(＋2，0)；

③当点P为顶点时，点P为AC垂直平分线与x轴的交点，PA＝PC，

则(2﹣m)2＝(﹣2﹣m)2＋82，

解得，m＝﹣8，

∴P点坐标为(﹣8，0)．，