Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与交坐标轴于A,B两点．以AB为斜边在第一象限作等腰直角三角形ABC，C为直角顶点，连接OC．

（1）求线段AB的长度

（2）求直线BC的解析式；

（3）如图②，将线段AB绕B点沿顺时针方向旋转至BD，且，直线DO交直线y=x+3于P点，求P点坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）P点的坐标是.

【解析】

（1）先确定出点A，B坐标，利用勾股定理计算即可；

（2）如图1中，作CE⊥x轴于E，作CF⊥y轴于F，进而判断出，即可判断出四边形OECF是正方形，求出点C坐标即可解决问题．

（3）如图2中，先判断出点B是AM的中点，进而求出M的坐标，即可求出DP的解析式，联立成方程组求解即可得出结论．

解：（1）∵直线交坐标轴于A、B两点．

∴令，，∴B点的坐标是，

，

令，，∴A点的坐标是，

，

根据勾股定理得：.

（2）如图，作CE⊥x轴于E，作CF⊥y轴于F，

∴四边形OECF是矩形．

∵是等腰直角三角形，

，，，

，

，，．

∴四边形OECF是正方形，

，

，，．

∴C点坐标

设直线BC的解析式为：，

∴将、代入得：，

解得：，．

∴直线BC的解析式为：.

（3）延长AB交DP于M，

由旋转知，BD＝AB，

∴∠BAD＝∠BDA，

∵AD⊥DP，

∴∠ADP＝90°，

∴∠BDA＋∠BDM＝90°，∠BAD＋∠AMD＝90°，

∴∠AMD＝∠BDM，

∴BD＝BM，

∴BM＝AB，

∴点B是AM的中点，

∵A（4，0），B（0，2），

∴M（4，4），

∴直线DP的解析式为y＝x，

∵直线DO交直线y＝x＋3于P点，

将直线与联立得：

解得：

∴P点的坐标是.