Question

【题目】如图，ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF，若BC=7，DF=3，AE=，则GF的长为__________

Answer 1

【答案】3．

【解析】

首先延长AE、DC相交于点M，过点A作AH⊥BC于点H，连接AC，进而得出FC的长，再利用勾股定理得出EH的长，即可得出FG的长

延长AE、DC相交于点M，过点A作AH⊥BC于点H，连接AC，

∵AB∥DM，
∴∠M=∠BAE，∠CEM=∠DAM，
而∠BAE=∠DAM，
∴∠M=∠CEM=∠DAM，
∴CE=CM，DM=AD=7，
∵∠M+∠MFE=90°=∠CEM+∠CEF，
∴∠MFE=∠CEF，
∴CF=CE=CM=FM=（MD-DF）=2，
∴AB=DC=DF+CF=5，BE=BC-CE=5，
设EH=x，可得：BH=5-x，
∵AH2=AE2-EH2=AB2-BE2，
∴10-x2=25-（5-x）2
解得：x=1，
则EH=1，AH=3，
故CH=CE+EH=3，
则AC==3，
而四边形ACFG是平行四边形，
故FG=AC=3．
故答案为：3．