Question

【题目】对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+2by﹣1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a0+2b1﹣1=2b﹣1．

（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=3．

①求a，b的值；

②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；

（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？

Answer 1

【答案】（1）①a=1，b=3；②-2≤p＜-；（2）a=2b．

【解析】试题分析：（1）①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；

②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可；

（2）由T（x，y）=T（y，x）列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式．

试题解析：（1）①根据题意得：T（1，-1）==-2，即a-b=-2；

T=（4，2）==1，即2a+b=5，

解得：a=1，b=3；

②根据题意得： ，

由①得：m≥-；

由②得：m＜，

∴不等式组的解集为-≤m＜，

∵不等式组恰好有3个整数解，即m=0，1，2，

∴2＜≤3，

解得：-2≤p＜-；

（2）由T（x，y）=T（y，x），得到=，

整理得：（x2-y2）（2b-a）=0，

∵T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立，

∴2b-a=0，即a=2b．