Question

【题目】如图，在△ABC中，AD，BD分别平分∠CAB和∠CBA，相交于点D．
（1）如图1，过点D作DE∥AC，DF∥BC分别交AB于点E、F． ①若∠EDF=80°，则∠C为多少？
②若∠EDF=x°，证明：∠ADB=（90+ ）°．
（2）如图2，若DE，BE分别平分∠ADB和∠ABD，且EF，BF分别平分∠BED和∠EBD，若∠BFE的度数是整数，求∠BFE至少是多少度？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠EDF=80°，

∴∠DEF+∠EDF=180°﹣80°=100°，

∵DE∥AC，

∴∠BED=∠BAC，

同理得：∠EFD=∠ABC，

∴∠ABC+∠BAC=∠DEF+∠EDF=100°，

∴∠C=80°

故答案为：80°；

②∵∠EDF=x°，

∴∠DEF+∠EFD=180°﹣x°，

∵DE∥AC，

∴∠BED=∠BAC，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠BAD，

∴∠DEF=2∠BAD，

同理得：∠EFD=2∠ABD，

∴∠BAD+∠ABD= ，

∴∠ADB=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣ =90°+ =（90+ ）°

（2）解：∵DE平分∠ADB，

∴∠BDE= ∠ADB=45°+ ，

∵∠BED+∠DBE=180°﹣∠BDE，

∵EF，BF分别平分∠BED和∠EBD，

∴ ∠BED+ ∠DBE=90°﹣ ∠BDE，

即∠BEF+∠EBF=90°﹣ ∠BDE，

∴∠BFE=180°﹣（∠BEF+∠EBF），

=180°﹣（90°﹣ ∠BDE），

=90°+ ∠BDE，

=90°+ （45°+ ），

=90°+22°+ + ，

=112°+ ，

∵∠BFE的度数是整数，

当x=4时，∠BFE=113°．

答：∠BFE至少是113度

【解析】（1）①先根据三角形的内角和求得：∠DEF+∠EDF=100°，再由平行线的性质得：∠BED=∠BAC，∠EFD=∠ABC，所以∠C=180°﹣100°=80°；②同理先求出∠DEF+∠EFD=180°﹣x°，由平行线的性质和角平分线的定义得：∠DEF=2∠BAD，同理得：∠EFD=2∠ABD，则∠BAD+∠ABD= ，再由三角形内角和可求得结论；（2）依据②的结论得：∠ADB=（90+ ）°，则∠BDE= ∠ADB=45°+ ，由三角形的内角和定理得：∠BED+∠DBE=180°﹣∠BDE，再由角平分线定义得： ∠BED+ ∠DBE=90°﹣ ∠BDE，代入∠BFE=180°﹣（∠BEF+∠EBF），可得结论．
【考点精析】本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和外角的相关知识点，需要掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角才能正确解答此题．