Question

【题目】综合题。
（1）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AD⊥l于点D，作BE⊥l于点E.求证：DE=AD+BE.

（2）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°.用尺规作图法作出△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）

（3）若AB=10，CD=3，求△ABD的面积.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵∠ACB=90

∴∠ACD+∠BCE=90

∵ AD⊥l

∴∠ACD+∠CAD=90

∴∠CAD=∠BCE

∵BE⊥l，AD⊥l

∴∠ADC=∠BEC=90

∵AC=BC

∴△ACD≌△CBE

∴AD=CE，CD=BE

∵DE= CD+ CE

∴DE=AD+BE．

（2）

（3）

解：过点D作DE⊥AB于E

∵DC⊥AC，DE⊥AB

∴DE=DC=3

∴

【解析】（1）根据“同角的余角相等”可证得∠CAD=∠BCE，再由AC=BC，∠ADC=∠BEC=90，可证明△ACD≌△CBE，则DE=AD+BE=CD+ CE．（2）角平分线的尺规作图方法，过A画弧交角两边的两点，再分别这两点为圆心画两条弧交于一点，连接A与这一点，交BC于点D，即AD为该角的角平分线；（3）由角平分线的性质，可作DE⊥AB于E，DE=DC=3，则可求三角形ABD的面积.