Question

【题目】在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，我们称关于x的一元二次方程为“△ABC的☆方程”．根据规定解答下列问题：

（1）“△ABC的☆方程” 的根的情况是______（填序号）：

①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根；③没有实数根；

（2）如图，AD为⊙O的直径，BC为弦， BC⊥AD于E，∠DBC=30°，求“△ABC的☆方程” 的解；

（3）若x=是“△ABC的☆方程” 的一个根，其中a，b，c均为整数，且，求方程的另一个根．

Answer 1

【答案】（1）选②（2）（3）x1=，x2=-2．

【解析】

试题分析：（1）利用三角形各边大于0，再利用，得出答案即可；

（2）利用等边三角形的判定得出△ABC为等边三角形，进而得出a=b=c，求出方程的根即可；

（3）将代入☆方程可得：，进而化简得出，结合，可得，进而求出a，b，c的值求出方程的根即可．

试题解析：（1）选②

（2）由角度推导出△ABC为等边三角形，等a=b=c

△ABC的☆方程”ax2+bx-c=0可以变为：ax2+ax-a=0，

∵a≠0，方程进一步化简为：x2+x-1=0解之得：

（3）将x=代入☆方程中可得：化简可得：ac+4b-16=0，

结合ac-4b＜0，可得出0＜ac＜8，

由ac+4b=16，可知ac需能被4整除，又0＜ac＜8；

∴ac=4，从而b=3，

又因为a，c为正整数，则a=1，c=4（不能构成三角形，舍去）或者a=c=2，

所以☆方程为2x2+3x-2=0， 解得：x1=，x2=-2．