Question

【题目】阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形的四边中点依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？

小敏在思考问题，有如下思路：连接．

结合小敏的思路作答．

（1）若只改变图①中四边形的形状（如图②），则四边形还是平行四边形吗？说明理由；

（参考小敏思考问题方法）

（2）如图②，在（1）的条件下，若连接．

①当与满足什么条件时，四边形是矩形，写出结论并证明；

②当与满足____时，四边形是正方形．

Answer 1

【答案】（1）是，理由见解析；（2）①AC⊥BD，证明见解析；②AC⊥BD且AC=BD

【解析】

（1）连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；
（2）①根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论；

②在①基础上，只要证明∠EHG=90°即可；

解：（1）四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
如图2，连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF=AC，
同理HG∥AC，HG=AC，

综上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四边形EFGH是平行四边形；

（2）①当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；
理由如下：
同（1）得：四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF=90°，
∴四边形EFGH为矩形；

②结论：当AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形．
理由：由①可知，AC=BD，四边形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，AC∥HG，
∴HG⊥BD，
∵EH∥BD，
∴EH⊥HG，
∴∠EHG=90°，
∴四边形EFGH是正方形．