Question

【题目】已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．

（1）求点A的坐标；

（2）若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；

（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当b=1，且顶点N在抛物线C1上时，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）（﹣4，0）；（2）y=﹣x2﹣2x；（3）m=﹣2+或﹣2﹣．

【解析】试题分析：(1)、由抛物线经过原点可知当x=0时，y=0，由此可得关于x的一元二次方程，解方程即可求出抛物线x轴另一交点坐标；(2)、由△AMO为等腰直角三角形，抛物线的顶点为M，可求出b的值，再把原点坐标（0，0）代入求出a的值，即可求出抛物线C1的解析式；(3)、由b=1，易求线抛物线C1的解析式，设N（n，﹣1），再由点P（m，0）可求出n和m的关系，当顶点N在抛物线C1上可把N的坐标代入抛物线即可求出m的值．

试题解析：(1)、∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）经过原点O， ∴0=4a+b，

∴当ax2+4ax+4a+b=0时，则ax2+4ax=0， 解得：x=0或﹣4，∴抛物线与x轴另一交点A坐标是（﹣4，0）；

(2)、∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如图1） ∴顶点M坐标为（﹣2，b），

∵△AMO为等腰直角三角形， ∴b=2， ∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，

∴a（0+2）2+2=0， 解得：a=﹣， ∴抛物线C1：y=﹣x2﹣2x；

(3)、∵b=1，抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，（如图2） ∴a=﹣，

∴y=﹣（x+2）2+1=﹣x2﹣x， 设N（n，﹣1），又因为点P（m，0）， ∴n﹣m=m+2，

∴n=2m+2 即点N的坐标是（2m+2，﹣1）， ∵顶点N在抛物线C1上， ∴﹣1=﹣（2m+2+2）2+1，

解得：m=﹣2+或﹣2﹣．