Question

【题目】Rt△ABC与Rt△DEF的位置如图所示，其中AC=2，BC=6，DE=3，∠D=30°，其中，Rt△DEF沿射线CB以每秒1个单位长度的速度向右运动，射线DE、DF与射线AB分别交于N、M两点，运动时间为t，当点E运动到与点B重合时停止运动．

（1）当Rt△DEF在起始时，求∠AMF的度数；

（2）设BC的中点的为P，当△PBM为等腰三角形时，求t的值；

（3）若两个三角形重叠部分的面积为S，写出S与t的函数关系式和相应的自变量的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ∠AMF =150°；(2) t的值为0，3﹣，2，3+;(3) S=．

【解析】试题分析：（1）根据题意可以求得∠B的度数，∠DFC的度数，从而可以求得∠AME的度数；

（2）根据题意可以分两种情况，一种是DM与线段AB相交，一种是DF与AB的延长线相交，分别针对两种情况再讨论，画出相应的图形，求出相应的t的值；

（3）根据题意可以分两种情况，一种是DM与线段AB相交，一种是DF与AB的延长线相交，然后根据题意可以分别求出两种情况下S与t的函数关系式．

试题解析：（1）在Rt△ABC中，tan∠B=

∴∠B=30°，

在Rt△DEF中，∠D=30°，

∴∠DFC=60°，

∴∠FMB=∠DFC﹣∠B=30°，

∴∠AMF=180°﹣∠FMB=150°；

（2）∵BC=6，点P为线段BC的中点，

∴BP=3，

（ⅰ）若点M在线段AB上，

①当PB=PM时，PB=PM=3，

∵DE=3，∠D=30°，

∴EF=DEtan30°=3，

∴此时t=0；

②如图（1）所示

当BP=BM时，BP=BM=3，

∵∠B=30°，∠DFE=60°，

∴∠FMB=30°，

∴△BMF为等腰三角形．

过点F作FH⊥MB于H，则BH=BM=，

在Rt△BHF中，∠B=30°，

∴BF=，

∴t=3﹣；

③如图（2）所示，

当MP=MB时，∠MPB=∠B=30

∵∠MFP=60°，

∴PM⊥MF，∠BMF=30°

∴FB=FM，

设FB=x，则FM=x，PF=2x．

∴3x=3，x=1

∴t=2；

（ⅱ）若点M在射线AB上，如图（3）所示，

∵∠PBM=150°

∴当△PBM为等腰三角形时，有BP=BM=3

∵△BFM为等腰三角形，

∴过点F作FH⊥BM于H，则BH=BM=，

在Rt△BHF中，∠FBH=30°

∴BF=，

∴t=3+，

综上所述，t的值为0，3﹣，2，3+．

（3）当0＜t≤3时，BE=6﹣t，NE=（6﹣t），

∴SΔBEN=×(6-t) ×（6﹣t）=（6﹣t）2

过点F作FH⊥MB于H，如图（1）所示，

∵FB=3﹣t

∴HF=（3﹣t），HB=（3﹣t），MB=（3﹣t），

∴SΔBMF=×（3﹣t）×（3﹣t）=（3﹣t）2，

∴S=S△BEN﹣S△BMF=（6﹣t）2-（3﹣t）2=

当3＜t≤6时，BE=6﹣t，NE=（6﹣t），如图（4）所示，

∴S=SΔBEN=

由上可得，当0＜t≤3时，S=，

当3＜t≤6时，S=．