Question

【题目】菱形ABCD中，∠B=60°，∠MAN=60°，射线AM交直线BC于点E，射线AN交直线CD于点F，连结EF，请解答下列问题：
（1）如图1，求证：EC+FC=AC；

（2）将∠MAN绕点A旋转，如图2，如图3，请直接写出线段EC，FC，AC之间的数量关系，不需要证明；

（3）若S菱形ABCD=18 ，∠CAE=30°，则CF=

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1所示：

∵四边形ABCD为菱形，∠B=60°

∴AB=BC，∠ACF=∠B=60°．

又∵∠B=60°，

∴△ABC为等边三角形．

∴AC=BC=AB，∠BAC=60°．

又∵∠MAN=60°，

∴∠BAE=∠CAF．

在△ABE和△ACF中 ，

∴△ABE≌△ACF（ASA）．

∴BE=CF．

∴EC+CF=EC+BE=BC．

又∵BC=AC，

∴EC+CF=AC

（2）

解：如图2所示：AC+CF=EC．

∵四边形ABCD为菱形，∠B=60°

∴AB=BC，∠ACD=∠B=60°．

∴∠ACF=120°．

∵∠B=60°，AB=BC，

∴△ABC为等边三角形．

∴AC=BC=AB，∠ABC=60°．

∴∠ABE=120°．

∴∠ABE=∠ACF．

∵∠MAN=∠BAC=60°

∴∠BAE=∠CAF．

在△ABE和△ACF中 ，

∴△ABE≌△ACF（ASA）．

∴BE=CF．

∴FC+BC=BE+BC=CE．

∵BC=AC，

∴FC+AC=CE．

如图3所示：

又∵BC=AC，

∴EC+CF=AC．

如图3所示：CF=AC+CE．

在△ACE和△ADF中 ，

△ACE≌△ADF（ASA）．

∴CE=DF．

∴CF=CD+DF=CD+CE=AC+CE，即CF=AC+CE

（3）3或12
【解析】解：（3）如图1所示：
∵∠CAE=30°，∠CAB=60°，
∴AE平分∠CAB．
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，BE=CE．
∴AE= AB．
∵S菱形ABCD=18 ，
∴AB AB=18 ．
∴AB=6．
∴BE=EC=3．
∴CF=3．
如图3所示：
∵∠CAE=30°，∠BAC=60°，
∴∠BAE=90°．
又∵AB=6，∠B=60°，
∴BE=12．
∴CF=AC+CE=BC+CE=12．
综上所述，CF=3或CF=12．
所以答案是：3或12．