Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG=30°，则下列结论正确的个数为（ ） ⑴DC=3OG；（2）OG= BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）S△AOE= SABCD ．

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点， ∴OG=AG=GE= AE，
∵∠AOG=30°，
∴∠OAG=∠AOG=30°，
∠GOE=90°﹣∠AOG=90°﹣30°=60°，
∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；
设AE=2a，则OE=OG=a，
由勾股定理得，AO= = = a，
∵O为AC中点，
∴AC=2AO=2 a，
∴BC= AC= ×2 a= a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB= =3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3a，
∴DC=3OG，故（1）正确；
∵OG=a， BC= a，
∴BC≠ BC，故（2）错误；
∵S△AOE= a a= a2 ，
SABCD=3a a=3 a2 ，
∴S△AOE= SABCD ， 故（4）正确；
综上所述，结论正确是（1）（3）（4）共3个．
故选C．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=AG=GE= AE，再根据等边对等角可得∠OAG=30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE=60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出（3）正确；设AE=2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB=3a，从而判断出（1）正确，（2）错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（4）正确．