Question

【题目】点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB为平行四边形时， ．其中正确的是（ ）
A.②④
B.②③
C.①③④
D.①②④

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，3），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≤3，（顶点在y轴上时取“=”），故①错误；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，
因此，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，故②正确；
若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x=1，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值为﹣2﹣4=﹣6，故③错误；
根据顶点坐标公式， =3，
令y=0，则ax2+bx+c=0，
CD2=（﹣ ）2﹣4× = ，
根据顶点坐标公式， =3，
∴ =﹣12，
∴CD2= ×（﹣12）= ，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1﹣（﹣2）=3，
∴ =32=9，
解得a=﹣ ，故④正确；
综上所述，正确的结论有②④．
故选A．

根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①错误；根据二次函数的增减性判断出②正确；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③错误；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．