Question

【题目】已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．
（1）求证：CB2=ABDB；
（2）若⊙O的半径为2，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接OC，

∵直线CP是⊙O的切线，

∴∠BCD+∠OCB=90°，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠OCB=90°

∴∠BCD=∠ACO，

又∵∠BAC=∠ACO，

∴∠BCD=∠BAC，

又∵BD⊥CP

∴∠CDB=90°，

∴∠ACB=∠CDB=90°

∴△ACB∽△CDB，

∴ =ABDB

（2）解：∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP=30°，

∴∠COB=2∠BCP=60°，

∴△OCB是正三角形，

∵⊙O的半径为2，

∴S△OCB= ，S扇形OCB= π，

∴阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=

【解析】（1）由CP是⊙O的切线，得出∠BCD=∠BAC，AB是直径，得出∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB=90°，得出结论△ACB∽△CDB；（2）求出△OCB是正三角形，阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB ， 即可得出答案．