Question

【题目】如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点.

（1）求证：；

（2）求证：四边形是菱形；

（3）若，，求菱形的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析（3）24

【解析】

（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；
（2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形；
（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．

解：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵AD为BC边上的中线
∴DB=DC，
∴AF=CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接DF，
∵AF∥BD，AF=BD，，，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=8，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF=AC×DF=×6×8=24．