Question

【题目】已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．

（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；

（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？

Answer 1

【答案】（1）当m为1时，四边形ABCD是菱形，边长是；（2）ABCD的周长是5．

【解析】

（1）根据菱形的性质可得出AB＝AD，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；

（2）将x＝2代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出ABCD的周长．

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD．

又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，

∴△＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，

∴m＝1，

∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．

当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，

解得：x1＝x2＝，

∴菱形ABCD的边长是．

（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，

解得：m＝．

将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，

∴方程的另一根AD＝1÷2＝，

∴ABCD的周长是2×（2+）＝5．