Question

【题目】如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．

（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）
（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）
（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）

Answer 1

【答案】
（1）

解：作OC⊥AB于点C，如右图2所示，

由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，

∴∠BOC=9°

∴AB=2BC=2OBsin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm，

即所作圆的半径约为3.13cm；

（2）

解：作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示，

∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，

∴折断的部分为BE，

∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，

∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，

∴∠BAD=9°，

∴BE=2BD=2ABsin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，

即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm．

【解析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件．（1）根据题意作辅助线OC⊥AB于点C，根据OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，可以求得∠BOC的度数，从而可以求得AB的长；（2）由题意可知，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，则AE=AB，然后作出相应的辅助线，画出图形，从而可以求得BE的长，本题得以解决．