Question

【题目】阅读材料：
分解因式：x2+2x﹣3
解：原式=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣4
=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）
此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2x﹣3=；a2﹣4ab﹣5b2=；
（2）无论m取何值，代数式m2+6m+13总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值；
（3）观察下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
请你说明这个等式的正确性．

Answer 1

【答案】
（1）（x﹣3）（x+1）；（a+b）（a﹣5b）
（2）解：m2+6m+13=m2+6m+9+4=（m+3）2+4，

因为（m+3）2≥0，

所以代数式m2+6m+13的最小值是4

（3）解：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca，

= （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），

= （a2﹣2b+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ca+a2），

= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]

【解析】解：（1）x2﹣2x﹣3，
=x2﹣2x+1﹣1﹣3，
=（x﹣1）2﹣4，
=（x﹣1+2）（x﹣1﹣2），
=（x﹣3）（x+1）；
a2﹣4ab﹣5b2 ，
=a2﹣4ab+4b2﹣4b2﹣5b2 ，
=（a﹣2b）2﹣9b2 ，
=（a﹣2b﹣3b）（a﹣2b+3b），
=（a+b）（a﹣5b）；
所以答案是：（x﹣3）（x+1）；（a+b）（a﹣5b）；
【考点精析】关于本题考查的因式分解的应用，需要了解因式分解是整式乘法的逆向变形，可以应用与数字计算、求值、整除性问题、判断三角形的形状、解方程才能得出正确答案．